《證明的故事》[澳]約翰·史迪威（JohnStillwell）『EPUB電子書下載』

證明的故事 內容簡介

證明是數學思想中十分重要且極具開拓性的特征之一。沒有證明，我們就無法談論真正的數學。

本書從古希臘幾何學時代講起，涵蓋代數、微積分、集合、數論、拓撲、邏輯等幾乎全部數學分支中的證明故事，講述了證明的演變及其在數學中的重要作用和啟發意義。我們將看到歐幾裏得、康托爾、哥德爾、圖靈等數學大師的精彩發現和發明。本書不是教材，而是在講數學的歷史，更是在講數學思想的演變。作者揭示了數學學習和研究的底層方法和邏輯，讓讀者看到在數學中什麼定理可以被證明、如何證明，以及什麼問題可以（或無法）被解決，為數學研究和發展提供了全新的視角。

◎編輯推薦

☆數學史泰鬥約翰·史迪威新作。

☆沒有證明，就沒有真正的數學。

☆無論在數學中還是在生活中，人類不僅要知道哪些東西是真的，哪些不是真的，更要知道它們為什麼是真的。

證明的故事 作者簡介

[澳] 約翰·史迪威 / John Stillwell

澳大利亞數學家，美國麻省理工學院博士，舊金山大學榮休教授，首屆美國數學學會會士（Fellow）。1994年國際數學家大會特邀報告人。

2005年榮獲美國數學協會享有盛譽的“肖夫內獎”（Chauvenet Prize）。他是優秀的數學作者，本書和《數學及其歷史》均為其代表作。

證明的故事 目錄

序言iv
第1章　歐幾裏得之前1
1.1　勾股定理2
1.2　勾股數組4
1.3　無理數7
1.4　從無理數到無窮8
1.5　對無窮的敬畏11
1.6　歐多克斯12
1.7　附注15
第2章　歐幾裏得16
2.1　定義、定理和證明17
2.2　等腰三角形定理與SAS19
2.3　平行公設的變體22
2.4　再談勾股定理25
2.5　代數概覽26
2.6　數論與歸納法29
2.7　幾何級數32
2.8　附注36
第3章　歐幾裏得之後38
3.1　關聯39
3.2　順序40
3.3　合同43
3.4　完備44
3.5　歐幾裏得平麵47
3.6　三角形不等式49
3.7　射影幾何50
3.8　帕普斯定理和德薩格定理54
3.9　附注58
第4章　代數60
4.1　二次方程61
4.2　三次方程63
4.3　作為“普遍算術”的代數67
4.4　多項式與對稱函數68
4.5　近世代數：群72
4.6　近世代數：域與環76
4.7　線性代數80
4.8　近世代數：向量空間81
4.9　附注85
第5章　代數幾何91
5.1　圓錐曲線92
5.2　費馬和笛卡兒94
5.3　代數曲線96
5.4　三次曲線100
5.5　貝祖定理102
5.6　線性代數和幾何104
5.7　附注106
第6章　微積分108
6.1　從列奧納多到哈裏奧特109
6.2　無窮求和111
6.3　牛頓的二項式級數115
6.4　巴塞爾問題的歐拉解法118
6.5　變化率120
6.6　麵積和體積124
6.7　無窮小代數和幾何128
6.8　級數微積分134
6.9　代數函數及其積分138
6.10　附注141
第7章　數論144
7.1　初等數論145
7.2　再談勾股數組149
7.3　費馬最後定理154
7.4　數論中的幾何與微積分157
7.5　高斯整數163
7.6　代數數論171
7.7　代數數域174
7.8　環和理想178
7.9　整除和素理想183
7.10　附注186
第8章　代數基本定理190
8.1　在證明之前的定理190
8.2　代數基本定理的早期“證明”及其漏洞193
8.3　連續性和實數195
8.4　戴德金對實數的定義196
8.5　代數學家的基本定理198
8.6　附注200
第9章　非歐幾裏得幾何201
9.1　平行公設202
9.2　球麵幾何203
9.3　球麵幾何的平麵模型207
9.4　微分幾何209
9.5　常曲率幾何214
9.6　貝爾特拉米的雙曲幾何模型218
9.7　複數的幾何222
9.8　附注224
第10章　拓撲學227
10.1　圖228
10.2　歐拉多麵體公式233
10.3　歐拉示性數和虧格237
10.4　作為曲麵的代數曲線239
10.5　曲麵的拓撲242
10.6　曲線奇點和紐結247
10.7　賴德邁斯特移動250
10.8　簡單的紐結不變量253
10.9　附注258
第11章　算術化260
11.1　的完備性261
11.2　直線、平麵和空間263
11.3　連續函數263
11.4　定義“函數”和“積分”265
11.5　連續性和可微性271
11.6　一致性273
11.7　緊致性277
11.8　編碼連續函數281
11.9　附注283
第12章　集合論288
12.1　無窮簡史289
12.2　等勢集合291
12.3　與等勢的集合297
12.4　序數299
12.5　用集合實現序數301
12.6　根據秩對集合排序305
12.7　不可達性306
12.8　無窮的悖論307
12.9　附注308
第13章　數、幾何和集合的公理312
13.1　皮亞諾算術313
13.2　幾何公理316
13.3　實數的公理318
13.4　集合論的公理319
13.5　附注322
第14章　選擇公理324
14.1　選擇公理和無窮325
14.2　選擇公理和圖論326
14.3　選擇公理和分析學327
14.4　選擇公理和測度論329
14.5　選擇公理和集合論332
14.6　選擇公理和代數學333
14.7　更弱的選擇公理337
14.8　附注340
第15章　邏輯與計算342
15.1　命題邏輯343
15.2　命題邏輯的公理345
15.3　謂詞邏輯350
15.4　哥德爾完備性定理352
15.5　邏輯歸約為計算355
15.6　可計算枚舉集357
15.7　圖靈機359
15.8　半群的字問題365
15.9　附注370
第16章　不完全性375
16.1　從不可解性到不可證性376
16.2　句法的算術化377
16.3　根岑對PA一致性的證明380
16.4　算術中暗含的ε0384
16.5　可構造性387
16.6　算術概括390
16.7　弱柯尼希引理392
16.8　五大子係統394
16.9　附注396
參考文獻397
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